この表現も映画やドラマを見ているとよく聞きますね。ただ、タイトルのように直訳したのでは本当に伝えたい意味は理解できません。
どんな場面で使われているのかと言うと、多くの場合はこの表現の直前に相手に何かを提案したり相手を説得したりする発言があるときです。そして、自分のその発言を相手に信じてほしいときにこのことばを使います。
この表現は、「あなたは私の単語（ことば）を持っている（手に入れている）」というところから、「私が言ったことをそのまま覚えていて結構である」、つまり「私の言ったことを信じてもらっていい」という意味で使われるのです。そしてそれは自分の立場から言うと、「約束します」や「保証します」というような意味になります。
相手に自分の言ったことを信じてもらいたい場合、Believe me.（私を信じて） という直接的な表現を使うこともありますが、今回の表現のように言った方が丁寧な感じになるように思います。また、ちょうどこれらの２つの中間的な位置づけで使えそうな表現として、以前に紹介した「6. Count on me.」を使った You can count on me. もあります。こちらも「私のことを信じてください」とか「私のことを頼りにしてもらっていいですよ」ということを伝えたいときに使われます。
You have my word. は「私のことばをそのまま受け取ってください」ということなので少し気取った感じで使われる表現ですが、自分の言ったことを相手に信じてもらう場面があったら使ってみたいですね。