【質問】
10月号 64ペーシの本文に Oh, they're for modern dancing. という表現と What's a type of modern dance? という表現がありますが、dancing と dance の使い分けを教えてください。（注：太字は回答者による）
【回答】
名詞として使われる dancing と dance のちがいはよく話題になります。しかも、ご指摘の箇所のように modern という単語と一緒の用いられている（しかも訳まで「モダンダンス」と同じ）場合、どうちがうのかということは疑問点としてあがって当然です。そこで、両単語が使われている別の例文を見てみましょう。
① Learn basic footwork in waltz dancing in this video.
（このビデオでワルツダンスの基本的な足の運び方を学びましょう。）
② The waltz is an elegant dance.
（ワルツは優雅なダンスです。）
いずれも「ワルツ」というダンスの一種のことを述べた文ですが、①の文の中ではワルツが「ダンスの踊り方」という意味で使われており、②ではワルツが「１つのダンス」という意味で使われています。つまり、dancing は踊りやダンスという行為を表すときに用いられ、dance は具体的なダンスの種類やダンス・パーティーなどを指すときに用いられるというわけです。
さて、それをご指摘の箇所に当てはめて見直してみると、modern dancing の方は「モダンな踊り方のダンス全般」を指し、modern dance は「（ある種類の）モダン・ダンス」を指していることがわかります。そして、会話の内容もそのように考えてみるとよく理解できると思います。