この表現は、映画やドラマを見ていると頻繁に耳にします。早口だと You got a minute? のように 've(=have) が落ちてしまったものや、少し丁寧に Do you have a minute? や Have you got a minute? などときちんと疑問形で言う場合もあります。
まず You've got ですが、これは You have got の縮約形で、You have（あなたは持っている）と同義に使われる表現です。ただし、一般的には口語として使われる表現なので、書きことばでは使わない方がいいでしょう（もちろん、メールや手紙のように相手に話しかけるように書くものは除きます）。
次にポイントとなる表現は minute で、みなさんはこれを one minute, two minutes, ... などのように「分」という意味で使われるのを知っているでしょう。一方、辞書で調べてみると「ちょっとした時間」のような意味も出てきます。同じような使い方では Wait a minute.（ちょっと待って）という言い方を知っていると思います。
つまり、件の文は「あなたはちょっとした時間を持っているか？」→「ちょっとした時間があるか？」→「（自分のために）ちょっとした時間を割いてくれないか？」と相手にお願いするときの表現だということですね。少しくだけた口語調で言えば、「ちょっといい？」という感じでしょうか。
これでみなさんも誰かにちょっとしたお願いをしたいときに何と言ったらいいかがわかったと思います。
You've got a minute?
なんて気軽に言えたらいいですね。でも、誰か他の人から言われたら何かを頼まれるということですから少し警戒してしまいそうですが…。