これまでも何度か取り上げていますが、"get" という単語は実にいろいろな意味で使われる動詞です。
筆者が初めてこの動詞に出会ったのは中１の教科書で、I get up at seven. で、get up で「起きる」という連語として出てきたので、単語自体の意味はわかりませんでした。これが単体で出てきたのは中２のときに「買う」という意味の過去形 got が最初だったと思います。以来しばらくの間、get は「買う」という意味だと思っていました。タイトルはそのような筆者の経験から付けたものです。
一方、若い人であれば、「ポケモン、ゲットだぜ！」という有名なアニメの台詞から、何かを「捕まえる」という意味だと思ったかもしれませんね。
さて、今回の表現に使われている get はその「捕まえる」という意味に近いものです。基本的には「得る」という包括的な意味で使われているものと考えていいでしょう。したがって、タイトルの文は「私はあなたを捕まえた」という意味になります。
ただし、「あなた」の内容が場面によっていろいろ異なります。
１つは、ポケモンのときと同じ意味で、「あなた」という相手の身体を指します。実際に相手の身体をつかんで I caught you. と言うこともできます。
また、「あなたの姿」を指す場合もあります。かくれんぼなどで相手を見つけたときに、I got you! と叫んだりします。つまり、I found you. という意味です。
一番よく聞く場面は、「あなたの言っていること」を指す場合です。相手の発言に対して「わかった」と応じるときに発せられます。つまり、I understand what you said[are saying]. ということを表します。
とても簡単な表現で使える場面も多いので、ぜひ積極的に使ってみてください。